Έχετε αναρωτηθεί ποτέ σας, τι κοινό έχουν τα μαθηματικά με τα κινέζικα? Σκεφτείτε λίγο… Σκεφτείτε λίγο ακόμα… Σκεφτείτε, δεν μας κυνηγάει κανένας… Έχετε χρόνο μέχρι να βαρεθώ να γράφω εμβόλιμες προτάσεις: Όπως αυτή που ακολουθεί. Ή αυτή που προηγήθηκε. Ή όπως αυτή που ξέχασα να γράψω ενδιάμεσα. Ή εκείνη που θα πω στο τέλος αλλά δεν έχω σκεφτεί ακόμα, αν και ξέρω από τώρα ότι θα έχει να κάνει με τα φετινά Oscars. Δηλαδή η ανόητη πρόταση. Δηλαδή αυτή που δε νοήθηκε ποτέ. Δηλαδή όχι ανόητη ακριβώς, μιας και ξέρω ότι θα έχει να κάνει με τα φετινά Oscars. Δηλαδή, αυτή που δειλά μόνο έχω δει. Κι αφού την έχω “ψιλοδεί”, ας την σκεφτώ και ας την ξεστομίσω: Πάρτε πίσω το Oscar από το Slumdog!
Πίσω στα δικά μας τώρα. Θυμάστε τι σας ρώτησα? Αν ναι, τότε θα πρέπει να είστε περήφανοι για τον εαυτό σας, μιας και το τυπικό ανθρώπινο μυαλό θα είχε ήδη αποσυγκεντρωθεί στα μισά της προηγούμενης παραγράφου. Κι αυτό, γιατί ο εγκέφαλος δεν συγκρατεί εύκολα πληροφορίες όταν αυτές έχουν να κάνουν με άγνωστες ή ασυνήθιστες γι’ αυτόν νοητικές περιοχές. Πόσο μάλλον, όταν έρχεται αντιμέτωπος με λέξεις ή φράσεις των οποίων αγνοεί τη σημασιολογία. Αυτή ακριβώς είναι και η ομοιότητα των μαθηματικών με μία ξένη γλώσσα όπως η κινεζική: Δεν έχουν κανένα απολύτως νόημα, παρά μόνο όταν γνωρίζουμε τον συμβολισμό τους. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν είναι τίποτα περισσότερο και τίποτα λιγότερο από μια γλώσσα με το δικό της αλφάβητο και τους δικούς της γραμματικούς και συντακτικούς κανόνες.
Παρ’ όλα αυτά, υπάρχει μία ειδοποιός διαφορά. Ενώ οι συνηθισμένες γλώσσες υπάρχουν απλά για να συμβολίζουν τη φύση και τα διάφορα στοιχεία της, η γλώσσα των μαθηματικών υπάρχει για να συμβολίζει τις “αλήθειες” αυτής. Κι εδώ Houston, είναι που έχουμε το πρόβλημα. Για παράδειγμα, εκείνο το καφέ ζαρζαβατικό που φυτρώνει μες τη γη και έχει κίτρινο χρώμα όταν ξεφλουδιστεί, είναι γνωστό σε εμάς με το όνομα ‘πατάτα’, στους αγγλοσάξωνες με το όνομα ‘potato’, στους γάλλους με το όνομα ‘pomme de terre’ και στους κινέζους με το σκαρίφημα ‘马铃薯’. Όμως αυτό δεν έχει να λέει… Θα μπορούσαμε κάλλιστα να τη βαφτίσουμε Bob. Τέτοια είναι η ευελιξία των γλωσσών που έχουν ως μοναδικό τους στόχο την απεικόνιση του ευρύτερου περιβάλλοντος και τίποτε περισσότερο.
Στα μαθηματικά όμως, τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά. Για παράδειγμα, τι εννοούμε με τον όρο “μαθηματικό σύνολο” (η απλά σύνολο)? Για πολλά χρόνια, η απάντηση της μαθηματική κοινότητας ήταν απλή: “Σύνολο είναι οποιαδήποτε συλλογή στοιχείων”. Συνεπώς, κατά τον παραπάνω ορισμό, η συλλογή όλων των συνόλων είναι και η ίδια σύνολο! Κι όχι οποιοδήποτε σύνολο. Ένα σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα και άρα κατ’ επέκταση τον εαυτό του! Δηλαδή, υπάρχουν σύνολα που περιέχουν τον εαυτό τους! Αυτό από μόνο του αν και παράξενο δεν είναι παράλογο, μιας και η ύπαρξη ενός μαθηματικού αντικειμένου που δεν συναντάται στη φύση είναι σύνηθες φαινόμενο στην μαθηματική επιστήμη (βλ. τεραδιάστατους χώρους, άπειρα σύνολα κτλ.).
Γι αυτό και συνεχίζουμε ακάθεκτοι! Αυτή τη φορά συλλέγουμε όλα εκείνα τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους. Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, αυτή η συλλογή θα αποτελεί και η ίδια σύνολο. Ονομάζουμε αυτό το σύνολο Jack Bauer (JB). Στη συνέχεια θέτουμε το εξής ερώτημα: Το σύνολο JB περιέχει τον εαυτό του ή όχι? Αν όχι, τότε το JB δεν περιέχει τον εαυτό του. Άρα, αφού το JB περιέχει όλα εκείνα τα στοιχεία που δεν περιέχουν τον εαυτό τους, θα πρέπει να περιέχει και το JB (που όπως είπαμε, δεν περιέχει τον εαυτό του). Άτοπο! Αν ναι, τότε το JB περιέχει τον εαυτό του. Άρα, το ίδιο το JB δεν μπορεί να περιέχεται στο JB που περιέχει μόνο εκείνα τα σύνολα που δεν περιέχουν τον εαυτό τους (και το JB δεν πληρεί αυτή την προϋπόθεση μιας και περιέχει τον εαυτό του). Άτοπο!*
Τελικά το JB περιέχει τον εαυτό του ή όχι? Σίγουρα θα πρέπει να συμβαίνει το ένα ή το άλλο. Όμως σε κάθε περίπτωση καταλήγουμε σε άτοπο. Συνεπώς, τίποτε από τα δύο δεν ισχύει. Με άλλα λόγια, ο Jack Bauer και περιέχει και δεν περιέχει τον εαυτό του! Αυτό ίσως να μην φαντάζει παράλογο σ’ όλους εμάς τους οπαδούς του JB, αλλά στην πραγματικότητα είναι πιο παράλογο ακόμη και από την εμφάνιση του απαράδεκτου “The Reader” στα Oscars, ή από το γεγονός ότι τα “Vicky-Cristina-Barcelona” και “Dark Knight” έμειναν εκτός πεντάδας για το χρυσό αγαλματίδιο…
*Η διατύπωση του εν λόγω παραδόξου οφείλεται στον Bertrand Russell (1872-1970). Αξίζει να σημειωθεί, ότι μετά τη δημοσίευση του παραπάνω παραλογισμού, η μαθηματική κοινότητα αναθεώρησε τον ορισμό του μαθηματικού συνόλου χρησιμοποιώντας έναν αρκετά πιο σύνθετο ορισμό βασισμενο στα αξιώματα των Zermelo και Fraenkel. Το μη τετριμμένο του ορισμού οδήγησε στην ανάπτυξη του πλέον διασήμου τμήματος της Μαθηματικής Λογικής: Την Θεωρία Συνόλων.
