Ο Γρίφος των Ιδιοφυών Διδύμων

BC__Wolf_Twins_by_MelancholyTsuki

Ένα από τα είδη γρίφων που βαριέμαι όσο τίποτε άλλο είναι εκείνο που απαιτεί κάποιου είδους πολύπλοκη αριθμητική διαδικασία (βλ. Πόσο χρονών είναι η γάτα μου? Τι μήκος έχει το γένι του παππού μου? κτλ). Κι αυτό γιατί συνήθως δεν υπάρχει τίποτα το αξιόλογο στον στυγνό υπολογισμό μίας μαθηματικής εξίσωσης. Αυτό μπορεί να το κάνει και ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής. Εκείνο που παρουσιάζει το πραγματικό ενδιαφέρον είναι αυτή καθεαυτή η δημιουργία της εξίσωσης που είναι δυστυχώς τετριμμένη στα περισσότερα προβλήματα του είδους. Ευτυχώς για μάς, όλα τα προβλήματα που περιλαμβάνουν αριθμούς δεν είναι αυτής της μορφής. Παρακάτω συναντούμε μία τέτοια φωτεινή εξαίρεση:

Ο Γρίφος των Ιδιοφυών Διδύμων: Η Νίκη και ο Σοφοκλής είναι δίδυμα αδέλφια με εξαιρετικά ανεπτυγμένη διανοητική ευφυία. Μια μέρα λοιπόν αποφασίζω να τους περάσω από την εξής δοκιμασία: Τους δηλώνω ότι έχω διαλέξει δύο φυσικούς αριθμούς μεγαλύτερους του ένα (όπως πχ. 2, 3, 4, … κτλ) έτσι ώστε το άθροισμα τους να μην ξεπερνάει το 50 (πχ. (21, 23) ή (2, 48) ή (4, 4)…), χωρίς όμως να τους πω ποιοι είναι οι αριθμοί αυτοί. Στη συνέχεια, λέω στη Νίκη το άθροισμα τους και στο Σοφοκλή το γινόμενο τους. Ακολουθεί ο παρακάτω διάλογος μεταξύ τους:

  • Σοφοκλής: Δεν ξέρω τους δύο αριθμούς…
  • Νίκη: Πες μου κάτι που να μην ξέρω ήδη!
  • Σοφοκλής: Τώρα τους ξέρω!
  • Νίκη: Τώρα τους ξέρω κι εγώ!

Ερώτημα 1: Μπορείτε να γνωρίζετε ποιους δύο αριθμούς επέλεξα?

Ερώτημα 2: Αν όχι, ποια ζευγάρια αριθμών (επιλεγμένα από μένα) είναι ικανά να οδηγήσουν στην παραπάνω στιχομυθία? Αν ναι, αποδείξτε γιατί οι δύο αριθμοί που επιλέξατε για το ερώτημα 1 είναι οι σωστοί.

(Σημείωση: Η πρώτη σωστή λύση δόθηκε από τον “Zakacid” και τον  “Paschouale” και υπάρχει στα σχόλια. Ο τελευταίος, βαρέθηκε λίγο τη ζωή του να την γράψει ολοκληρωμένα, αλλά η πειστική προϊστορία του είναι αρκετή για να τον γράψει εδώ… 🙂 )

(Ευχαριστώ το “Hristo” που μου πρότεινε τη βασική ιδέα για τον παραπάνω γρίφο)

(picure: “BC Wolf Twins” by Melancholy Tsuki)

Advertisements

20 Σχόλια

  1. fil said,

    Μαΐου 14, 2009 στις 1:59 πμ

    νομιζω δεν ειμαι σιγουρος μια ιδεα θα πεταξω αυτος ο γριφος πρεπει να βασιζετε στο στο S και το P μαθηματικων s=x+X’
    P=X*X’

  2. fil said,

    Μαΐου 14, 2009 στις 2:01 πμ

    νομιζω δεν ειμαι σιγουρος μια ιδεα θα πεταξω αυτος ο γριφος πρεπει να βασιζετε στο στο S και το P μαθηματικων s=x+X’
    P=X*X’ και αμα ξερουμε το αθροισμα και το γινομενο σιγουρα μπορουμε να βρουμε απο το τριωνυμο απο το οποιο προηλθαν και στην συνεχεια ή με παραγοντοποιηση ή με Διακρίνουσα το λυνουμε, σε λιγο θα σας πω και ακριβως κατι απο τα παραπανω μπορει να ειναι και λαθος θα το ψαξω λιγο και θα σας πω.

  3. Paschouale said,

    Μαΐου 14, 2009 στις 4:18 πμ

    Να και εγώ τι έχω κάνει μέχρι τώρα:
    #include
    #include

    main()
    {

    int i,j,temp,l,y = 0, k = 0;
    int sum[575],prod[575],mon[575][4];
    int I[575],J[575];

    for( i=2; i<=48; i++ )
    for( j=i; j<=48; j++ )
    if( (i+j <= 50) )
    {
    I[k] = i;
    J[k] = j;
    sum[k] = i+j;
    prod[k] = i*j;
    k = k+1;
    }

    for( i=0; i<=k-1; i++)
    {
    temp = 0;
    for ( j=0; j<=k-1; j++)
    if ( prod[i] != prod[j] )
    temp = temp + 1;

    if ( temp == k-1 )
    {
    mon[y][0] = y;
    mon[y][1] = I[i];
    mon[y][2] = J[i];
    mon[y][3] = prod[i];
    y = y + 1;
    }
    }

    for( i=0; i<=k-1; i++)
    {
    temp = 0;
    for ( j=0; j<=k-1; j++)
    if ( sum[i] != sum[j] )
    temp = temp + 1;

    if ( temp == k-1 )
    {
    mon[y][0] = y;
    mon[y][1] = I[i];
    mon[y][2] = J[i];
    mon[y][3] = sum[i];
    y = y + 1;
    }
    }
    }

    Θα μου πεις ποια είναι η λογική…
    Με την πρώτη δήλωση ξέρω οτι δεν μπορεί να είναι γινόμενο πρώτων αριθμών… Άρα τους αφαιρώ..
    Ο προσθετάκιας το καταλαβαίνει αυτό. Επίσης αφού δεν το ξέρει ούτε αυτός δεν μπορεί να είναι το 5 η λύση (2+3 ή 2+2). Τώρα όμως μπορεί να απορρίψει και τα αθροίσματα των αριθμών των μοναδικών γινομένων του 1ου(Δεν το εχω κάνει ακομα). Αφού το κάνει αυτό κοιτάει τις νέες μοναδικές επιλογές του… Και λέει οτί πάλι δεν το ξέρει…
    Τώρα θέλει ψάξιμο….

    Καλά τα πάω ??? 😀

  4. Duncan said,

    Μαΐου 14, 2009 στις 5:01 πμ

    @ fil: Αυτό που λες είναι πέρα για πέρα σωστό, αλλά δεν πρόκειται να σε βοηθήσει στο παρόν πρόβλημα. Έχε υπ’ όψη σου ότι σ’ αυτά τα προβλήματα, μεγαλύτερη σημασία έχει η λογική παρά οι καθαροί υπολογισμοί… Περιμένω τις ιδέες σου! 😉

    @ Paschouale: Δεν χρειαζότανε να μου το γράψεις σε c++ για να καταλάβω το επιχείρημα! (Γι’ αυτό ακριβώς έβαλα τον περιορισμό x+y <= 50, για ν’ αποφύγετε τις μηχανές…) Όχι τίποτε άλλο, μου τρομάζεις και τον κόσμο :-). (Βλέπει εκεί ένα κατεβατό από mumbo-jumbo κώδικα και το βάζει στα πόδια). Πέρα από την πλάκα πάντως, τόσο ο κώδικας όσο και (κυρίως) οι ιδέες σου είναι σωστές… Try and keep it simple though.

  5. Paschouale said,

    Μαΐου 15, 2009 στις 4:42 πμ

    Λοιπόν για να μην παρεξηγούμαστε σας εξηγώ την αρχική ιδέα γρήγορα:
    Ερώτημα 1: Ναι μπορώ (Το έλυσα το 1ο ερώτημα δεν με ρωτάς τίποτα άλλο ούτε ποιοι είναι οι αριθμοί ούτε τίποτα άρα παίρνω το credit)

    Ερώτημα 2:
    Καταγράφουμε όλους τους δυνατούς συνδιασμούς που να έχουν άθροισμα <=50.
    Εντοπίζω τους πρώτους
    1) Δεν μπορεί να είναι γινόμενο πρώτων αριθμών αλλιώς ο P θα ήξερε το αποτέλεσμα!(βλέπε ότι γινόμενο πρώτων αριθμών είναι μοναδικό)
    2)Εφόσων ο 2ος το ήξερε σημαίνει ότι το άθροισμα που έχει δεν μπορεί να αποτελείται από 2 πρώτους….
    Σε αυτό το σημείο κάνω πρόσθεση τους πρώτους και κρατάω τα αθροίσματά τους…
    Όλα αυτά τα αθροίσματα τα αφαιρώ από τα αρχικούς δυνατούς συνδιασμούς

    Να επισημάνω οτί το βρήκα φτοιάχνοντας ένα προγραμματάκι… σας το παραθέτω:

    #include
    #include

    main()
    {
    int i,j,k=0,sum[49][49],sum2[200];
    int prwtoi[15] = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47};

    for(i=2; i<=48; i++)
    for(j=2; j<=48; j++)
    sum[i][j]=0;

    for(i=2; i<=48; i++)
    for(j=2; j<=48; j++)
    if ( i+j<=50 )
    sum[i][j] = i+j;

    for(i=0; i<=14; i++)
    for(j=0; j<=14; j++)
    {
    sum2[k] = prwtoi[i] + prwtoi[j];
    k = k + 1;
    }

    for(i=2; i<=48; i++)
    for(j=2; j<=48; j++)
    for(k=0; k<=200; k++)
    if( sum[i][j] == sum2[k] )
    sum[i][j] = 0 ;

    for(i=2; i<=48; i++)
    for(j=2; j<=48; j++)
    if( sum[i][j]!=0 )
    printf(«%d «,sum[i][j]);

    system(«pause»);

    }

    Το πρόγραμμα μου έδωσε ως αποτέλεσμα αυτό :
    11, 17 , 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47

    Αυτά λοιπόν είναι τα δυνατά αθροίσματα…
    Και τώρα λόγω ότι βαριόμουν να κάνω και άλλο προγραμματισμό (όχι οτί θα τα κατάφερνα κιόλας) παίρνουμε έναν έναν και τον αναλύουμε… Κοινώς 100 ώρες….έλα όμως που τυχαίνει να είσαι και τυχερός…

    Το 11 μπορεί να είναι (2+9)ή(3+8)ή(4+7)ή(5+6)…..
    1ο 2*9=18 —» 18 = (2*9)ή(3*6) Άρα ο Ρ ξέρει 2+9=11 ή 3+6 =9 beep
    το 3+6 δεν γινετε γιατί είπαμε ποιοι αριθμοί ισχύουν άρα ο Ρ μπορεί να πει Τον ξέρω…. ο Σ όμως…

    Κάνω ένα stop είναι δύσκολο να σας το εξηγήσω αλλά ο Ρ θέλει να υπάρχει ένα δυνατό αποτέλεσμα απο τα 11,17…,41,47 για να πει με σιγουριά οτι τον βρήκε… πχ. στο 5*6 = 30 μπορεί να είναι τα 10,3 ή 5,6 ή 2,15 (ο πολ/μός τους κάνει 30), τα προσθέτει και βλέπει ότι 10+3 = 13, δεν υπάρχει ως εδώ καλά, 5+6 = 11, να μία πιθανή λύση, 2+15 = 17, 2η λύση… άρα δεν μπορεί να ξέρει ποιο από τα 2 είναι άρα δεν απάνταει Τώρα τους ξέρω!.
    Αυτό το ξέρει και ο Σ… δηλαδή ότι ο Ρ πρέπει να έχει 1 μόνο απάντηση. Το θέμα όμως είναι από μία περίπτωση να έχει 1 απάντηση γιατί… πάμε πίσω εκέι που μείναμε…

    Το 11 μπορεί να είναι (2+9)ή(3+8)ή(4+7)ή(5+6)…..
    2ο 3*8–»24 24 = (2*12)ή(3*8)ή(4*6) Κάνουμε προσθέσεις 2+12=14 δεν υπάρχει, 3+8= 11 (λύση), 4+6 = 10 δεν υπάρχει…
    Άρα ο Ρ ξέρει την λύση.
    Ο Σ όμως δεν μπορεί να ξέρει αν οι αριθμοί είναι ή ο 2,9 ή ο 3,8 γιατί γνωρίζει οτί και με τις 2 λύσεις ο Ρ μπορεί να ξέρει αλλά όχι αυτός…
    Δεν χρειάζετε να κάνουμε την πέριπτωση τις 4,7 έχει ήδη αποδειχθεί ότι δεν έχει λύση…

    Και τώρα να η τύχη μετά έκανα το 17…..
    Το 17 αναλύετε σε 2+15, 3+14, 5+12, 6+11, 7+10, 8+9
    Κάνουμε ακριβώς την ίδια δουλειά με πριν…(Δεν την κάνω πάλι βαριέμαι…)
    Σε όλες τις λύσεις βγαίνουν για τον Ρ 2 σωστά αποτελέσματα εκτός από 1 την 4+13…. αρα μπορεί να ξέρει μόνο άμα του έδωσαν το 52…
    Τώρα μπορεί να ξέρει και ο Σ… Κάντε το και θα δείτε…

    Μπορώ να καταλάβω ότι δεν είναι πολύ κατανοητό αλλά άμα θέλετε περισσότερη εξήγηση αλλάξτε επάγγελμα… 😛

    Υ.Γ. Και μην ξεχάσω η γλώσσα που χρησιμοποιώ είναι c και όχι c++. Άντε τώρα :D… Ουφ σχόλασα 3 παρά 15

  6. Duncan said,

    Μαΐου 15, 2009 στις 4:56 πμ

    Σωστή προσέγγιση ως συνήθως P, αλλά η λύση σου ακόμα δεν είναι πλήρης… Το γεγονός ότι το ζεύγος (4, 13) θα οδηγούσε (ορθά!) στην παραπάνω στιχομυθία, δεν σημαίνει απαραίτητα ότι είναι και το μοναδικό!

    Μία πλήρης λύση θα πρέπει είτε να επιστρέφει όλα τα πιθανά ζεύγη, είτε να αποδεικνύει ότι το (4, 13) είναι το μοναδικό…

    ΥΓ.: Πάντως σε χαίρομαι που μου γράφεις κατεβατά κάθε φορά! Μπορεί τα κείμενα σου να κάνουν τους γρίφους να μοιάζουν περισσότερο πολύπλοκοι απ’ ότι είναι στην πραγματικότητα, αλλά τουλάχιστον έχουν προσωπικότητα… 🙂

  7. Paschouale said,

    Μαΐου 15, 2009 στις 2:04 μμ

    Την Δευτέρα στην δουλειά θα σε φτιάξω….
    Μην τυχών είναι η μοναδική λύση…. 😛

  8. Duncan said,

    Μαΐου 15, 2009 στις 5:56 μμ

    Χαχαχαχαχα! P ο Paraponiarhs!

    Κι όχι τίποτε άλλο, έχεις μόνο 9 αθροίσματα να ελέγξεις!
    Φαντάσου δηλαδή, να μη σου είχα βάλει περιορισμό στο άθροισμα… 🙂

    Μην ανησυχείς πάντως! Δεν θα δεχτώ άλλη λύση (ως πρώτη) πριν μου δώσεις ολοκληρωμένη απάντηση. 😉

  9. Zakacid said,

    Ιουνίου 12, 2009 στις 6:21 μμ

    Λοιπόν από την πρώτη δήλωση ξέρουμε ότι το γινόμενο δεν αναλύεται σε γινόμενο 2 πρώτων παραγόντων ή σε α^3 με α πρώτο ώστε να γράφεται και σαν α^2 * α

    Αυτό λαμβάνει και ο Α και αφού λέει ότι το ήξερε ήδη ότι ο Γ δεν τους γνωρίζει σημαίνει ότι το άθροισμα που έχει στα χέρια του δεν αναλύεται σε άθροισμα δυο πρώτων

    συνεπώς από την εικασία του Γκολμπαχ (κάθε άρτιος μπορεί να γραφτεί σαν άθροισμα δυο πρώτων) και ελέγχοντας για τα περιττά αθροίσματα αν γράφονται σαν 2+α με (α πρώτο)
    εξαιρούνται όλοι οι αριθμοί εκτός των 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47
    Ω = {11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47}
    Από τις δύο επόμενες δηλώσεις των Α και Γ έχουμε ότι ο Γ γνωρίζοντας πια ότι ο Α έχει στα χέρια του ένα από τα παραπάνω αθροίσματα μπορεί να σπάσει το γινόμενο του σε ένα μόνο ζεύγος αριθμών με άθροισμα ένα από τα παραπάνω
    και ότι για να τους ξέρει και ο Α μετά σημαίνει ότι το άθροισμα που γνωρίζει (και είναι ένας από τους παραπάνω αριθμούς) σπάει σε μόνο ένα ζεύγος αριθμών που το γινόμενο τους δίνει τέτοια δυνατότητα στον Γ.

    Ας δούμε τι γίνεται λοιπόν για τον 11

    11= 2+9 3+8 4+7 5+6
    2*9 = 18 = 6*3 όμως 6+3=9 όχι στο Ω άρα αν ο Γ είχε το γινόμενο 18 μπορούσε να τους ξέρει
    3*8=24=6*4=12*2 και τα δυο ζεύγη αποτελούνται από 2αρτιους αρά άθροισμα άρτιο άρα όχι στο Ω
    (λόγω μεταφοράς από το 8 δυαριού τα δυάρια πρέπει να μένουν στο ένα μέλος)(αναλ.πρωτ.παραγ.)
    4*7=2*14 ομοίως μεταφορά του 2 άρα πάλι ο Γ μπορεί να τους ξέρει

    6*5=2*15 με 2+15=17 άρα ο Γ δεν μπορεί να τους ξέρει

    όμως αφού ο Γ μπορεί να τους ξέρει σε παραπάνω από 2 περιπτώσεις δεν μπορεί να τους βρει μετά ο Α
    άρα ο αριθμός 11 απορρίπτεται

    Για 23

    23=19+4= 2+21=7+16
    1) 19*4=μόνο 2μπορεί να μεταφερθεί άρα ο Γ μπορεί να ξέρει
    2) 2*21=2*3*7=6*7=14*3 14+3= 17 άρα δεν μπορεί ο Γ να ξέρει
    3) 7*16=7*2*2*2*2 άρα μόνο μεταφορά δυαριού άρα ο Γ μπορεί να ξέρει
    άρα ο Α από 1 και 3 δεν μπορεί να ξέρει απορρίπτεται και το 23

    Για 27
    27 = 23+4= 16+11

    23*4= 23*2*2 μεταφορά 2 άρα ο Γ ξέρει
    16*11=11*2*2*2*2 μεταφορά 2 άρα ο Γ ξέρει
    άρα ο Α δεν μπορεί να ξέρει απορρίπτεται και το 27

    Για 29
    29=16+13=4+25
    16*13=13*2*2*2*2 Γ ξέρει
    4*25=2*2*5*5=20*5 με άθροισμα 25 άρα απορ. άρα πάλι Γ ξέρει

    Άρα Α δεν ξέρει άρα 29 απορρίπτεται

    Για 35
    35=4+31=8*27 πάλι και στα δυο λόγω μεταφοράς 2 ο Γ ξέρει
    άρα 35 απορρίπτεται γιατί ο Α δεν μπορεί να ξέρει

    Για 37
    37= 8+29=16+21
    Το 8*29 μεταφορά 2 αρα Γ ξέρει
    16*21= 2*2*2*2*3*7=16*3*7 οποιοδήποτε δίνει πολύ μεγάλο άθροισμα πχ 48+7>50 άρα Γ ξέρει

    Άρα 37 απορ.

    Για 41
    41=17+24= 19+22
    17*24=17*2*2*2*3=17*8*3 πάλι κάτι >50 Γ ξέρει
    19*22=19*2*11 πάλι κάτι >50 Γ ξέρει
    41 απορ.

    Για 43
    43=20+23=16+27
    23*20=23*2*2*5 κάτι >50 Γ ξέρει
    16*17=2*2*2*2*17 μεταφορά 2 άρα Γ ξέρει
    43 απορ.

    Για 17 όμως…
    17=15+2=14+3=13+4=12+5=11+6=10+7=9+8

    15*2=6*5 6+5=11 ανήκει στο Ω άρα Γ δεν ξέρει
    14*3=6*7=21*2 21+2=23 ανήκει στο Ω άρα Γ δεν ξέρει
    13*4=2*2*13 μεταφορά 2 άρα Γ ξέρει
    12*5=20*3 20+3=23 ανήκει στο Ω άρα Γ δεν ξέρει
    11*6=33*2 33+2=35 ανήκει στο Ω άρα Γ δεν ξέρει
    10*7=35*2 35+2=37 ανήκει στο Ω άρα Γ δεν ξέρει
    9*8=3*24 3+24=27 ανήκει στο Ω άρα Γ δεν ξέρει
    Μόνο μια περίπτωση ο Γ να ξέρει
    Άρα το άθροισμα είναι 17 και οι αριθμοί (13 και 4)

  10. Zakacid said,

    Ιουνίου 12, 2009 στις 6:23 μμ

    Πιστεύω αυτή είναι η λύση ή τουλάχιστον ένας τρόπος λύσης του γρίφου

  11. Duncan said,

    Ιουνίου 12, 2009 στις 6:47 μμ

    Ωραίος Zakacid! Ξεκάθρος και απόλυτα σαφής… (Υποθέτω ότι έχεις κάποιο μαθηματικό υπόβαθρο 😉 )

    ‘Ηθελα πολύ να εμφανιστεί κάποιος και να κάνει χρήση της εικασίας του Goldbach για να περιορίσει τα πιθανά αθροίσματα, μιας και αυτή έχει ελεχθεί για όλα τα υπολογίσιμα (από τις σημερινές μηχανές) πεπερασμένα σύνολα αρτίων.

    Καλώς ήρθες στην παρέα μας!

    ΥΓ.: O μεταγρίφος των πειρατών ακόμα ψάχνει λύση:
    https://palaskostas.wordpress.com/2009/05/27/pirates-part-3/

  12. Paschouale said,

    Ιουνίου 15, 2009 στις 2:31 πμ

    Χαχα σε ευχαριστώ, συγχαρητήρια και στον Zakacid.

    Είδες είχα δίκιο που να κάθομαι να γράφω όλες τις περιπτώσεις τώρα :P!

  13. Duncan said,

    Ιουνίου 15, 2009 στις 2:42 πμ

    Να σου πω, καλύτερα έτσι…

    Όχι τίποτε άλλο, να γραφτεί και κανένας άλλος στο Hall of fame… 😉

  14. Paschouale said,

    Ιουνίου 15, 2009 στις 4:26 πμ

    Na sou pw auto to Hall of fame einai kapoia ksexwristi selida i ayto katw apo to grifo? an einai ksexwristei selida rikse mou to link na tin dw…

  15. Duncan said,

    Ιουνίου 15, 2009 στις 11:06 πμ

    Δεν υπάρχει κάποια ξεχωριστή σελίδα, αλλά μου ‘δωσες καλή ιδέα…

    Ίσως κάποια στιγμή στο μέλλον να προσθέσω κάτι σχετικό!
    (Ως συνήθως βέβαια, δεν υπόσχομαι τίποτα 🙂 )

  16. Paschouale said,

    Ιουνίου 15, 2009 στις 10:51 μμ

    Na kaneis kai na valeis ton arithmo twn grifwn pou exei lysei o kathe enas…
    Pisteuw na eimai prwtos :P!!

  17. Duncan said,

    Ιουνίου 17, 2009 στις 6:52 πμ

    Χαχαχαχαχα!

    Τάδε έφη ο πάντα ετοιμοπόλεμος και ανταγωνιστικός P…!

  18. aleksandros said,

    Οκτώβριος 5, 2009 στις 7:01 πμ

    geia sou kosta,ime filos tou louka,ixame gnoristei mia fora spiti sou stin athina…gia ton grifo auton mou eixan pei pos a+b<60,kai to deytero bima elege:to ksero pos den tous ksereis alla oute k go tous ksero pou ine idio me to diko sou…i lisi mou basizete kathara se logiki mias kai den ksero mathimatika…ton sofoklh tha ton simboliso me Γ k tin niki me Α….ta zeugi sta opoia analiete ena athroisma dinoun kapoia ginomena.sta pithana ayta ginomena den prepei na uparxei kanena pou na analiete me monadiko tropo giati tote tha upirxe i pithanotita ayto to ginomeno na einai tou Γ opote o Α den tha mporouse na isxiristei pos to kserei pos o Γ den to kseri.skeftika oti emplekontai oi protoi..tous egrapsa olous mexri to 60 k apeklisa ta athroisata 2+3,2+5,2+7,2+11…..3+5,3+7,3+11……5+7,5+11…kok.mou emeinan oi arithmoi 11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59.
    Tora onomasa ginomena zita ta ginomena sta opoia analiomena se kapoia zeugi mono ena zeugos dinei athroisma ena apo ta pithana athroismata..px to 30 den ine ginomeno zita giati analiete sta zeugi(2,15),(3,10),(5,6)opou pernoume athroisma 17,11 ta opoia anikoun sta pithana athroismata..opote afou leei o Γ oti tous kserei tote upoxreotika prepei na exei ena ginomeno zita afou an ixe px to 30 den tha iksere…
    Telos afou leei o Α oti tora kserei prepei sta pithana ginomena tou athroismatos tou na uparxei mono ena ginomeno zita allios den tha iksere…sto 11 uparxoun 3 ginomena zita,sto 17 mono ena..afou leei omos oti tous kserei tous arithmous den tha mporouse sta alla pithana athroismata na iparxei ena mono ginomeno zita giati tote den tha iksere o Α,ayto thimizei ton orismo pou dinei o smyllyan gia ton metagrifo…telos panton ixa diksei oti ontos uparxoun toulaxiston 2 ginomena zita se ola ta alla athroismata…sinepos ine to ginomeno zita 52 me to zeygos (4,13)

  19. Duncan said,

    Οκτώβριος 9, 2009 στις 1:32 πμ

    Γεια σου (πλέον) συνονόματε φίλε μου!

    Η λύση σου φυσικά είναι απολύτως σωστή, πράγμα που με χαροποιεί ιδιαιτέρως γιατί σε μετατρέπει σε ζωντανό παράδειγμα μια θεωρίας που υποστηρίζω χρόνια: «Τα μαθηματικά δεν είναι τίποτε παραπάνω από καρπός της λογικής»… Συνεπώς, μόνο όποιος κατέχει τη δεύτερη μπορεί να κυριαρχήσει στα πρώτα (ακόμα κι αν δεν γνωρίζει τίποτα γι’ αυτά!) και όχι το αντίθετο όπως εσφαλμένα πιστεύει πολύς κόσμος…

    Επίσης, δεν ξέρω αν το ανέφερες τυχαία, αλλά τυγχάνω μεγάλος οπαδός του Smullyan! Και πράγματι, το συγκεκριμένο πρόβλημα λογικής ανήκει στην κατηγορία των μεταγρίφων (δηλαδή εκείνων των προβλημάτων, που αντί να μας δίνεται μια ιστορία και να αναζητούμε το τέλος της, μας δίνεται το τέλος της και αναζητούμε την ιστορία 😉 )

    Θα χαρώ πολύ να τα λέμε!

  20. Ιανουαρίου 8, 2014 στις 4:12 μμ

    2. Τα λάθη του Ζήνωνα

    Λένε μερικοί που θέλουν να δικαιολογούν τα αδικαιολόγητα ότι η πραγματική αιτία που νίκησε η χελώνα κάποτε το λαγό στο τρέξιμο δεν ήταν η υπεροψία του λαγού και η υπερβολική σιγουριά του, αλλά η πίστη που έδωσε ο λαγός στη σοφία του Ζήνωνα, ενός φιλόσοφου από την Ελέα που υποστήριζε παράδοξες αλήθειες. (σοφίσματα τα έλεγαν)
    Να τι, ακριβώς, λένε ότι συνέβη σε εκείνον τον αγώνα:
    Τα χρόνια που είχε ο Ζήνωνας σχολή στην Ελέα της κάτω Ιταλίας οργανώθηκε αυτός ο παράξενος αγώνας δρόμου μεταξύ λαγού και χελώνας. Θα έτρεχαν από την ξακουστή πόλη Ελέα της κάτω Ιταλίας και περνώντας από την Ποσειδώνια θα κατέληγαν στη Νεάπολη, κάπου 500 στάδια απόσταση ,100 χιλιόμετρα, περίπου, σημερινά. (Βέβαια σήμερα η Νεάπολη είναι η μεγάλη πόλη Νάπολη και η Ελέα είναι ένα μικρό χωριό Ελέα )
    Ο αγώνας είχε έναν ειδικό όρο: «η χελώνα θα ξεκινούσε δύο μέρες γρηγορότερα από το λαγό» Ο Ζήνωνας ήθελε να αποδείξει μια μεγάλη αλήθεια.
    Ο λαγός επειδή δεν ήξερε από μαθηματικά και αποστάσεις ρώτησε τον Πυθαγόρα το μαθηματικό αν πρέπει να δεχθεί τον όρο. Ο Πυθαγόρας έβγαλε μολύβι και χαρτί και του λέει: Εσύ λαγέ τρέχεις με μέση ταχύτητα 50 περίπου χιλιόμετρα την ώρα και η χελώνα μόνο ένα. Εσύ θα φτάσεις σε δύο ώρες και η χελώνα σε 100 ώρες.
    Ο λαγός όταν άκουσε την γνώμη του Πυθαγόρα δέχτηκε τον όρο. Αφού ξεκίνησε η χελώνα ο λαγός περίμενε ήσυχος να έρθει η σειρά του να ξεκινήσει μετά από δύο μέρες .
    Καθώς ήταν ξαπλωμένος και ξεκουραζόταν τον πλησίασε ο Ζήνωνας ο φιλόσοφος και του είπε:
    Λαγέ , πιστεύεις στην έννοια του «άπειρου», όπως όλος ό κόσμος πιστεύει.
    Πιστεύω λέει ο λαγός
    Τότε αυτό που έκανες είναι «τραγικό λάθος»! Τη χελώνα δεν πρόκειται τώρα να την φτάσεις ποτέ:
    Μα τι λες, Σοφέ μου, του είπε ο λαγός, αυτό είναι αστείο!
    Άκουσε ,λαγέ, του είπε σοβαρά ο Ζήνωνας εγώ είμαι φιλόσοφος και ότι λέω το στηρίζω στη λογική.
    Απόδειξε το μου, είπε ο λαγός!
    Πρόσεξέ με: Όταν τρέξεις εσύ τώρα από εδώ που είσαι, ας το πούμε το σημείο Α, για να φτάσεις στο σημείο Β που θα είναι τώρα η χελώνα δεν θα χρειαστείς έναν ορισμένο χρόνο; Συμφωνώ είπε ο λαγός!
    Πολύ καλά κάνεις και συμφωνείς είπε ο Ζήνωνας!
    Άκου τώρα και τα παρακάτω!
    Στο χρονικό αυτό διάστημα, μέχρι να πας εσύ εκεί που είναι τώρα, η χελώνα δεν θα έχει πάει και αυτή από το σημείο Β που είναι τώρα στο σημείο Γ;
    Ναι είπε ο λαγός.
    Για να πας εσύ, στη συνεχεία, από το σημείο Β, στο νέο σημείο Γ που θα πάει η χελώνα, δεν θα χρειαστείς πάλι άλλο ορισμένο χρόνο;
    Ναι λέει πάλι, ο λαγός
    Ε! αυτό θα γίνεται διαρκώς, άπειρες φορές! Νυν και αεί και εις τους αιώνας των αιώνων!
    Αμήν, ψιθύρισε ο λαγός μην πιστεύοντας στα αυτιά του!
    Γι αυτό σου λέω, ,μάταιος κόπος! Παράτα τα, λαγέ. Το άπειρο ή δεν υπάρχει ή είναι ανίκητο αφού λες ότι υπάρχει!
    Ο λαγός μπροστά στην επιμονή της επιστήμης σήκωσε τα χέρια ψηλά. Δεν προσπάθησε και έχασε τον αγώνα!
    Η ιστορία αυτή, όμως, είχε και κάποια συνέπεια για τον Ζήνωνα
    Σαν έμαθαν οι κριτές του αγώνα(οι ελλανοδίκες) ότι η αιτία που κέρδισε η χελώνα το λαγό στον αγώνα ταχύτητας ήταν …η παραδοξολογίες του Ζήνωνα, τον κάλεσαν για να τον δικάσουν.
    Μα γιατί θέλετε να με τιμωρήσετε, τους είπε ο Ζήνωνας, τα ίδια με μένα δεν λένε ο Δημόκριτος και ο Αριστοτέλης!
    Τα ίδια λένε, του είπαν ,αλλά αυτοί δεν κάνουν προσηλυτισμό.
    Οι δικαστές που δεν ακούνε τι λένε οι σοφοί, αλλά τι λέει ο κόσμος, σαν άκουσαν τους μάρτυρες καταδίκασαν τον Ζήνωνα να αποζημιώσει το λαγό, για την ηθική βλάβη που του προξένησε η γελοιοποίηση του στην οικουμένη!
    -Λοιπόν , ω Ζήνων , του είπαν επίσημα οι δικαστές θα πηγαίνεις στην αγορά κάθε πρωί και θα φέρνεις στο λαγό καρώτα με το καλάθι σου.
    Τι χωρητικότητα, Ζήνωνα, έχει το καλάθι σου;
    -Εξήντα χοίνικες χωράει , είπε ο Ζήνωνας, (Ένας χοίνικας ζύγιζε, περίπου, όσο ένα κιλό)
    -Α! πολύ ωραία του είπαν οι δικαστές. Το ρωτάμε αυτό, γιατί ο νόμος του Ερμή απαγορεύει να μεταφέρουν τα ζώα και οι άνθρωποι φορτίο περισσότερο από εξήντα χοίνικες
    Οι δικαστές συμφώνησαν για την καταδίκη του Ζήνωνα, αλλά διαφώνησαν για τον τρόπο που θα έδινε την αποζημίωση:
    Ο μισοί δικαστές πρότειναν: Να φέρνει ο Ζήνωνας στο λαγό κάθε μέρα και για μια εβδομάδα συνεχώς από 18 χοίνικες καρώτα την ημέρα.
    Ο άλλοι μισοί δικαστές πρότειναν: Να φέρνει ο Ζήνωνας κάθε πρωί, για μια εβδομάδα συνεχώς, στο λαγό καρώτα ως εξής: Την Δευτέρα 1 χοίνικα , την Τρίτη διπλάσια ποσότητα της προηγούμενης μέρας, δηλαδή 2 χοίνικες. την Τετάρτη διπλάσια ποσότητα της προηγούμενης μέρας δηλαδή, 4 χοίνικες την Πέμπτη διπλάσια ποσότητα της προηγούμενης μέρας, και «ούτω καθ΄ εξής» μέχρι την Κυριακή.
    -Λαγέ, είπαν οι δικαστές , διάλεξε εσύ, τον τρόπο που προτιμάς να αποζημιωθείς ;
    Ο Πυθαγόρας που παρακολουθούσε κάτι ψιθύρισε στον λαγό, που τώρα πια κρεμόταν από τα χείλη του.
    Διαλέγω τον πρώτο τρόπο! Κάθε μέρα από δέκα οκτώ χοίνικες.
    Ο Ζήνωνας, του είπε μισογελώντας:
    -Λαγέ μου, σήμερα τα «έκανες θάλασσα» και στο τρέξιμο και κυρίως στο διάλεγμα του τρόπου της αποζημίωσης!! Εγώ θα διάλεγα τον δεύτερο τρόπο!.
    -Ζήνωνα, είπε, τότε ο Πυθαγόρας, κρυφογελώντας με νόημα Εγώ εξετάζω όλα τα δεδομένα με τη λογική του Ευκλείδη!
    Τότε ένας από τους δύο μας κάνει λάθος, του είπε εκείνος!
    Ας το εξετάσουμε μαζί, είπαν και οι δύο.
    Μετά από λίγη ώρα ο ένας παραδεχόταν το λάθος του.
    Αυτήν την ημέρα οι μαθητές των δύο σοφών, χαμογελούσαν βλέποντας ότι και οι μεγάλοι κάνουν λάθη.
    Ποιο ,άραγε, έκανε λάθος;

    Η Λύση του προβλήματός μας
    Προσπαθούμε μαζί βήμα-βήμα. Πέρα από τα πραγματολογικά στοιχεία του κειμένου που πρέπει να συζητηθούν π.χ τι σημαίνει χοίνικας που είναι ελέα ποιος ήταν ο Ζήνωνας κ.λ.π. θα λύσουμε και το πρόβλημα
    Η λύση που δίνουμε παρέχει μια ενδεικτική πορεία
    Νύξη 1:Ο πρώτος τρόπος προτείνει 18 κιλά επί 7 μέρες, δηλαδή σύνολο 7χ18=126 κιλά
    Νύξη 2: Ο δεύτερος τρόπος προτείνει: 1η μέρα 1 κιλό 2η μέρα 2 κιλά 3η μέρα 4 κιλά 4η μέρα 8 κιλά 5η μέρα 16 κιλά 6η μέρα 32κιλά 7η μέρα 64κιλά. Σύνολο 1+2+4+8+16+32+64=127 κιλά
    Νύξη 3: Από τα παραπάνω δεδομένα θα έπρεπε να διαλέξουμε τον δεύτερο τρόπο
    Νύξη 4: Να σκεφτούμε και άλλες πληροφορίες που δίνει το πρόβλημα όπως: «Θα πηγαίνεις στην αγορά … μια μόνο φορά την ημέρα»
    Νύξη 5: Να σκεφτούμε και μια άλλη πληροφορία όπως: «Τι χωρητικότητα έχει το καλάθι ;»
    Νύξη 6: Να σκεφτούμε και μια άλλη πληροφορία όπως: «Απαγορεύεται από τον Ερμή τα ζώα και οι άνθρωποι να μεταφέρουν φορτίο περισσότερο από εξήντα κιλά.»
    Νύξη 7: Μας βοηθούν τα παραπάνω να αλλάξουμε γνώμη για το ποιος τρόπος συμφέρει το λαγό;
    Νύξη 8: Αν το καλάθι χωράει 60 κιλά πως μπορεί να μεταφέρει τα 64 κιλά της 7ης μέρας αφού απαγορεύεται να πάει δύο φορές την ίδια μέρα;
    Νύξη 9: Άρα κατ ανάγκη την 7η μέρα θα μεταφέρει μόνο 60 κιλά;
    Νύξη 10: Συνεπώς διαλέγει σωστά ο λαγός τον πρώτο τρόπο, γιατί θα αποζημιωθεί με 126 κιλά και όχι με 124 κιλά του δεύτερου τρόπου, αφού την 7η μέρα θα μεταφέρει 60 και όχι 64 κιλά.


Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Φωτογραφία Google+

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google+. Αποσύνδεση / Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

Αρέσει σε %d bloggers: